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元 李冶 撰
大斜四问
或问甲丙俱在中心丙望南门直行不知步数而止甲出东门直行不知步数望见丙斜行与丙相防二人共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百一十九步问答同前
法曰二数相减余以为幂内却减差幂为平实二数相减又四之于上又加入二之差步为益从二步常法得皇极勾
草曰别得共步即皇极三事和少步即勾股差也立天元一为皇极勾加少步得□□为股也又以天元加股得□□为和也以和减共步得□□为?也?自之得□□□为一段?幂【寄左】然后置股以天元乘之又倍之得□□为二直积加入少步幂□共得□□□为同数与左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差为股勾股相乘倍之为实勾股和减共步为法得城径
又法云数并与云数差相乘【按此句有误当云和数与倍差相加相减二得数相乘】为平实云数并与二数差相并得数以减于八之共步为益从【按此只云六因和步为益从亦同】一步常法得皇极黄方
草曰立天元一为黄方【即虚?也】副置之上位加共步得□□为二和也下位减共步得□□为二?也先以二和自乘得丨□□为四段和幂又以二?自乘得丨□□为四段?幂二数相减余得□又倍之得下式□为十六段直积于天元位【寄左】然后副置二和上位加二之少步得□□为四股下位减二之少步得□□为四勾勾股相乘得丨□□为同数与左相消得□□□平方而一得一百二步即皇极黄方也余各依法求之合问
或问甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步数而立甲向东行望见丙就丙斜行六百八十步与丙相防丙云我南行步多于甲东行二百八十步问答同前法曰以云数差乘云数并为实倍多步为从二为平隅得大勾
草曰立天元为大平【按大平即大勾】加差得□□为股倍天元乘之得□□为二积【寄左】然后以斜步多步并□与斜步多步较□相乘得□为同数与左相消得□□□开平方得三百二十步即大勾也合问
或问甲乙二人共立于艮隅乙南行过城外而立甲东行望乙与城叅相直而止丙丁二人共立于坤隅丁向东行过城门而立丙向南行望丁及甲乙悉与城俱相直丙复就甲斜行六百八十步与甲相防乙丁又云吾二人直行共得三百四十二问答同前法曰二云数相乘倍之为实倍斜行于上以二云数相减加上位为从一步常法开平方得城径
草曰别得斜步即大?也其共步则一径一虚?共也其二数相并为一大和一虚?共数也立天元为径减于共步得□□为虚?也以虚?复减于天元得□□为虚和以斜步乘之得□□【寄左】乃以天元加斜步得□□为大和以虚?乘之得□□□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲从北门向东直行庚从西门穿城东行丙从西门向南直行壬从北门穿城南行四人遥相望悉与城叅相直只云丙相望处六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步问答同前
法曰共步自之得数以共步减斜余自乘以减上为实二之斜步加入共步减斜余数为从一步常法得城径
草曰共行步为一径与皇和共也又为大和皇?差也甲丙相望即大?也以共步减大?余□为皇极?上减一径也立天元一为圆径减于共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上?内减共步余□又以天元加之得□□为皇极?以自之得丨□□减上位余得□□为两个皇直积【寄左】乃以天元乘皇?得下式丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
大和八问
或问庚从西门穿城东行二百五十六步而立壬从北门穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在干隅甲向东行丙向南行各不知步数而立四人遥相望只云甲丙共行了九百二十步问答同前法曰庚东行幂壬南行幂相并于上并庚壬步而倍之内减大和余复减于庚壬共得数【按或云并庚壬步以减大和亦同】以自乘减上位为平实并庚壬步为益从半步为隅法得城径
草曰立天元一为圆径以半之副置二位上以减于庚东行得□□为平?也下以减于壬南行得□□为髙?也二?相并得□□为皇?虚?共也倍此数得□□为大?虚?共也以大?虚?共减于大和余□□为虚勾虚股共也天元内减虚勾虚股共余□□即虚?也复置皇?虚?共内减虚?余□□即皇极?也以自之得□□【寄左】然后以平?自之得下式□□□为勾幂也又以髙?自之得□□□为股幂也二幂相并得□□□为同数与左相消得□□□平方而一得二百四十步即城径也合问
或问丙甲俱在西北隅甲向东行不知步数而立丙向南行望见甲就甲斜行与甲相防甲直行丙直行共九百二十步【甲步少于丙步】又出东门南行有柳树一株出南门东行有槐树一株戊己二人同在巽隅戊就柳树已从槐树亦与甲乙遥相望只云已行少于戊行数与两树相距数相并得一百四十四步其二数相减余六十步问答同前
法曰二云数相并而半之为虚?以乘大和九百二十步于上以一百四十四减大和以虚较乘之减上位为平实以一百四十四减大和又二之于上以二之虚较减上位【按或云倍甲丙直行共加己戊较与两树距之较减三之己戊较与两树距之和亦同】为从四虚隅得太虚勾
草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳树步即虚股也已就槐树步即虚勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一为虚勾加明勾得□□为半径也倍之得□□即城径也【又为虚?上三事和】二云数相并而半之得□即小?也相减而半之得□即小较也以天元加较得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事减大和得□□即大?也乃先置小和以大?乘之得下式□□□【寄左】次以小?乘大和得□□与左相消得下式□□□开平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二百四十步即城径也合问
或问甲从干隅东行乙从艮隅南行丙从干隅南行丁从坤隅东行四人遥相望见既而甲还至艮隅就乙丙还至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲还就乙共二百三十步丙还就丁共五百五十二步问答同前
法曰并就数以减直行共复以所并就数乘之为实并就数减直行共得数复加入直行共为法得虚?草曰别得甲丙直行共为大和也甲还就乙步为小差勾股共也丙还就丁步为大差勾股共也以大差勾股共减于大股余即虚勾也以小差勾股共减于大勾余即虚股也二数相并得□为大?虚?共也二数相减余□为通差及大虚勾股差共也又并二数而半之得□为太极?虚?共又为太极勾股共也立天元一为虚?先以二共数减于大和余□为虚勾虚股和于上次以虚?减于二共数余□□为大?以乘上位得下□□【寄左】然后以天元乘大和得□为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚?也加入虚和得二百四十步即城径也合问
又法并云数减大和复以二数相减乘之为实并云数减大和得数复加入大和为法得虚差
草曰立天元一为虚较先以并云数减大和余□为虚和于上次以天元减于二就步较□得□□为通差以乘之得□□【寄左】然后以天元乘大和得□为同数与左相消得□□上法下实得四十二步即虚差也副置虚和为二位上加虚差而半之得九十即虚股也下减虚差而半之得四十八即虚勾也勾幂股幂相并得□开平方得一百二步即虚?也加入虚和得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云股圆差上勾?差二百一十六勾圆差上股?差二十步问答同前
法曰以云数二十步减通和复以二十步乘之于上以云数二百一十六减九百步【按即并二差以减大和】而半之乘上位为立实三因二十步以减通和得八百六十以二百一十六减通和而半之得二百四十二二数相乗讫内减二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以减之为从方【按取从方内语有误当云三因小差减大和并二差减大和半之相乘于上三因大和加大差减三之小差半之以小差乘之得数减上位为从方】以二百一十六减通和又以三之二十步减通和相并于上以二之五百五十八内却减二十步余以减上位为益亷【按取益亷内语亦有误当云三因大和减六之小差为益亷】四步常法得小差股
草曰别得小差上股?差□加二股为大勾也大差上勾?差□加二勾为大股也立天元一为小差股加□得□□为小差?也小差?上又加天元得□□为通勾以减于和步得□□为通股也通股内减大差上勾?差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾?差□得□□为大差?也再置通股以小差?乘之得□□□以天元除之得□□□为一个大?也【泛寄】再置通勾以大差?乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以为大?【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□为同数与左相消得□□□□益积开立方得一百五十步为小差股也合问
或问依见前大和只云髙?平?共得三百九十一步髙?平?相较得一百一十九步问答同前
法曰以较数幂减于共数幂又半之为实以共数减大和为益从一步常法开平方得圆径
草曰别得髙数减于通股为边股内减明股也平?减于通勾为边勾内减明勾也其共数即大?内减皇极?又为皇极勾股共也其相较步即皇极差也二云数相并即黄广?也二云数相减余即黄长?也以共数减于大和余□为皇极?与圆径共立天元一为圆径以减皇极?与圆径共得□□为皇极?也以共数自之得□于上以相较数自之得□减上位余□又半之得□为两段皇极积【寄左】乃以天元乘皇极?得卜□为同数与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云大差?四百八步小差?一百七十步问答同前
法曰以并云数减大和复以乘大和又倍之为平实三之通和于上又以并云数减大和加上位为从二步虚法得圆径
草曰大差?减和步余□为大勾大差勾共也以小差?减大和余□为大股小差股共也云数相并□即大?内减虚?也云数相减得□为虚?平?共也【按此二语因数偶合而误见前】以相并数减于大和余□为大差勾小差股共又为圆径虚?共也立天元一为圆径减于□得□□为虚?也返以减于圆径得□□为小和也以天元减大和得□□为大?以乘小和得□□□【寄左】乃再置虚?以通和乘之得□□与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问依前见大和只云黄广?五百一十步黄长?二百七十二步问答同前
法曰云数相并减大和复以相并数乘之为实云数相并减大和得数复以加大和为法得虚?
草曰别得黄广?又为大差?虚?共又为边股叀股共也黄长?又为小差?虚?共又为底勾明勾共也以黄广?减于大股余即虚股以黄长?减于大勾余即虚勾故并数以减于大和余□为虚和也以虚和减径□□即虚?也二云数相并得□为大?虚?共也云数相减余□为虚?平?共【按此句误同上】立天元一为虚?以减于七百八十二得□□为大?也以小和乘之得□□【寄左】乃以天元虚?乘大和得□呔为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚?也合问
或问依前见大和只云边?五百四十四步底?四百二十五问答同前
法曰云数相减自之为实以大和减并数为法得皇极?
草曰别得以边?减大股余为半径内减平勾又为平?内减勾圆差也以底?减于大勾余为髙股内少半径又为股圆差内少髙股也二云数相并得九百六十九为大?皇极?共也二云数相减□为皇极勾股差也并数内减通和余□为皇极?内减圆径也立天元一为皇极?以自之于上以一百一十九自之减上位得丨□□为二皇积【寄左】复置天元内减四十九得下式□□为黄方复以天元乘之得丨□与左相消得□□上法下实得二百八十九步即皇极?也内减四十九余即城径也合问
按右大和八问每问于大和外复设二数然多有大和外设一数即可求者细考其法草所载皆三数并用婉转求之盖意在发明三数取用之理非不知其可省也
测圆海镜卷九
钦定四库全书