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明 徐光启 撰
勾股即三边直角形也底线为句底上之垂线为股对直角边为?勾股上两直角方形并与?上直角方形等故句三股四则?必五【一卷四七注】从此可以勾股求?句?求股股?求句【一卷四七注】可以求勾股中容方容圆可以各较求句求股求?可以各和求句求股求?可以大小两勾股互相求可以立表求髙深广逺以通勾股之穷可以二表四表求极髙深极广逺以通立表之穷其大小相求及立表诸法测量法义所论著畧备矣勾股自相求以至容方容圆各和各较相求者旧九章中亦有之第能言其法不能言其义也所立诸法芜陋不堪读门人孙初阳氏删为正法十五条稍简明矣余因各为论譔其义使夫精于数学者览图诵说庶或为之解頥
第一题
勾股求?
法曰甲乙股四乙丙句三求?以股自之得十六句自之得九并得二十五为实开方得甲丙?五
第二题
句?求股
法曰如前图乙丙句三自之得九甲丙?五自之得二十五相减得较十六开方得甲乙股四
第三题
股?求句
法曰如前图甲乙股四自之得十六甲丙?五自之得二十五相减得较九开方得乙丙句三
巳上三论俱见一卷四十七题【凡言某卷某题者皆引几何原本为证下同】
第四题
勾股求容方
法曰甲乙股三十六乙丙句二十
七求容方以勾股相乗为实并句
股得甲戊六十三为法除之得容
方辛乙乙癸各边俱一十五四二八
论曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三为法即成甲戊线除实得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形与甲乙丙丁形等【六卷十六】而巳庚边截乙丙句于癸甲丙?于壬即成乙辛壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙【六卷十五】分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也【乙丙乙戊元等】又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙【六卷四】更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形【六卷十五增题】又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊巳各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊巳亦各与方形边等则辛乙癸壬为直角方形
第五题
余句余股求容方求句求股
法曰甲丁余股七百五十戊丙余句
三十求丁乙戊巳容方边以丙戊甲
丁相乘得二万二千五百为实开方
得容方乙丁丁巳各边俱一百五十
加余股得股九百加余句得句一百八十
论曰甲丁戊丙相乘为实即成巳壬辛庚直角形与丁乙戊巳为甲丙角线形内之两余方形等【一卷四三】而壬巳与巳戊偕丁巳与巳庚为互相视之边【六卷十四】故巳壬辛庚之实即丁乙戊巳之实开方得丁乙戊巳直角方形边
又论曰甲丁与丁巳既若巳戊与戊丙【六卷四之系】即方形边当为甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之数其法以前率比后率为二十五倍大之比例二十五开方得五则中率当为五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十则方形边一百五十为甲丁丙戊之中率【六卷界说五】
第六题
容方与余句求余股与余股求余句
法曰容方乙丁丁巳各边俱一百五
十戊丙余句三十求甲丁余股以容
方边自之为实以余句为法除之得
甲丁余股七百五十以容方与余股求余句法同论曰如上论两余方形等实故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁
又论曰方形边既为甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】即方形边自乘为实以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙【六卷十七】
第七题
勾股求容圆
法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圆以勾股相乘得一万九千二百倍之得三万八千四百为实
别以勾股求
?得甲丙?
六百八十【本篇
一】并勾股?
为法除实得
容圆径乙子
二百四十
论曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之为实即丙丁戊己直角形求得甲丙?幷勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与句等庚辛与?等得甲辛为?和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊巳形等【六卷十六】而壬癸边截乙丙句于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径曷名为容圆径也谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙?截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也则何以显此五边之皆为切圜线乎试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等【一卷二十二可推】次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戌酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌为容圆径次于亥戌寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直
角三边形以
亥为同角交
加于甲乙丙
形之上亦以
乙子丑寅为
容圆径次作
丙兊线遇诸形之交加线于离于兊次作甲震线遇诸形之交加线于巽于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戌离丙子离又等为直角戌离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等【六卷七】则丙兊线必分甲丙未角为两平分矣【一卷九】又子离与戌离两边既等【本论】子离震戌离卯两交角又等【一卷十五】卯戌离震子离又等为直角即卯离戌离震子之各边各角俱等而两形亦等【一卷廿六】又子离与离戌两边既等离卯与离震两边又等【本论】即子卯与戊震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等
为直角即卯
丑辰震酉坎
之各边各角
俱等而两形
亦等【一卷廿六】依
显午巽辰与
坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等巽寅兊与兊艮申之各邉各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二【算见测圆海镜之勾股步率】则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙?则一百七十也【本篇一】次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戌卯既等为直角丑卯辰戌卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等【一卷廿六】依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌
皆四十八也
则酉坎坎乙
亦皆四十八也
亥酉亥乙皆八
十也子乙与
戌酉等子丙
与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等【一卷廿六】甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲巽午甲巽寅两形之甲寅甲午既等甲巽同线甲午巽甲寅巽又等为直角即两形必等而各边各角俱等【六卷七】是甲震线必分丙甲亥角为两平分也【一卷九】甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邉而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径【四卷四】展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径
又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二十与甲丙?六百八十相减亦得乙子二百四十论曰如前论诸大勾股形之分余句俱八十诸勾股和与诸?相减之较亦俱八十则初分句二百四十为诸形之容圆径
第八题
勾股较求股求句
法曰甲丙?四十五甲乙股甲丙句之较为甲丁九求股求句以?自之得二千○二十五倍之得四千
○五十较自之得八十一以减两
?羃存三千九百六十九为实开
方得勾股和六十三加较九得七
十二半之得三十六为甲乙股减
较得二十七为乙丙句
论曰?幂为甲戊直角方形倍之为己丙直角形较幂为甲庚直角方形与甲辛等相减即得减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等【一卷四七】即甲戊一?幂内有一甲乙股幂一乙丙句幂也己丙两?幂内有两甲乙幂两乙丙幂也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形
其丑寅与卯辰两形两股幂也丙
壬与癸子两形两句幂也而丑寅
卯辰之间则重一等甲辛之卯寅
形减之即丑辰直角方形与己辛
丙磬折形等矣乙丙为句丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙句加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙句
第九题
句?较求句求?
法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙?之较为甲丁十八求句求?以股自之得一千二百九十六较自之
得三百二十四相减存九百七十二
为实倍较为法除之得二十七为乙
丙句加较得四十五为甲丙?
论曰股幂为甲戊直角方形较幂为
丁庚直角方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折形为实次倍甲丁较线为乙寅线以为法除实即得乙子直角形与甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等较幂之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股幂之甲戊直角方形等也又何者甲丙?幂之甲辰直角方形内当函一句幂一股幂【一卷四七】试于甲辰形
内截取丁庚较幂之外分作庚未未
午午丁三直角形其甲庚申未酉戌
三线各与甲丁较线等庚申未戌未
辰午酉四线各与等乙丙句之丁丙
线等夫未酉酉戌并与句等即申未未酉并亦与句等而庚申未辰各与句等即庚未未午两形并为句幂而丁庚午丁两形并为股幂矣丁戌戌酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙元等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股幂之甲戌形等此两率者各减一等较幂之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
又法曰股自之得一千二百九十六为实以句?较十八为法除之得句?和七十二加较得九十半之得?四十五减较得句二十七
论曰股幂为甲己直角方形以较而
一为甲辛直角形即得甲壬边与乙
丙丙甲句?和等何者甲丙?幂之
甲丑直角方形内当函一股幂一句
幂【一卷四七】试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁较线等即卯丑辰丙俱与等乙丙句之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与
句等句幂也即甲卯卯辰两形当与
股幂等亦当与甲辛形等而甲庚卯
寅皆较也甲子?也卯丑句也则甲
辛形之甲壬边与句?和等
第十题
股?较求股求?
法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙?之较为丙丁九求股求?以句自之得七百二十九较自之得八十
一相减得六百四十八为实倍较为
法除之得甲乙股三十六加较得甲
丙?四十五
论曰句幂为乙己直角方形较幂为
丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚己磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚己磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙?幂之甲癸直角方形内当函一句幂一股幂【一卷四七】试于甲癸形内截取丙丑较幂之外分作甲丑丑癸丑子三直角形即丑子与股幂等而丙丑甲丑丑癸三形并当与句幂等次各减一相等之丙
丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚己磬
折形等亦与辛壬直角形等辛乙与
寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅
癸等亦与甲乙等
又法曰句自之得七百二十九为实以较为法除之
得股?和八十一加较得九十
半之得?四十五减较得股三
十六
论曰句幂为丙戊直角方形以较而一为丙己直角形即得丙庚边与甲乙甲丙股?和等何者甲丙?幂之甲辛直角方形内当函一股幂一句幂【一卷四七】试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与股幂等而丁辛丁癸两形并当与句幂等亦与丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆较也而甲丁与股等丙辛与?等即丙庚与股?和等第十一题
勾股和求股求句
法曰甲丙?四十五甲乙乙丙勾股和六十三求句
求股以?自之得二千○二十五句
股和自之得三千九百六十九相减
得一千九百四十四复与?幂相减
得八十一开方得勾股较甲卯九加
和得七十二半之得甲乙股三十六
减较得乙丙句二十七
论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲己直角方形此形内函甲辛癸己两股幂乙寅庚壬两句幂而甲辛癸己之间重一癸辛直角方形夫甲丙?之幂既与勾股两幂并等【一卷四七】以减甲己形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于?幂者为癸辛形矣乙辛股也乙丑句也则丑辛较也
第十二题
句?和求句求?
法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句
?和七十二求句求?以股自之
得一千二百九十六句?和自之
得五千一百八十四相减得三千
八百八十八半之得一千九百四十四为实以和为法除之得乙丙句二十七以减和得甲丙?四十五论曰以句?和作乙丁一直线自之为乙戊直角方形次用句?度相减取丙庚两防从丙从庚作庚辛
丙壬二平行线依此法作癸子丑
寅二平行线即乙戊一形中截成
丙子丑辛丁卯午己句幂四庚未
辰壬癸辰未寅较句矩内直角形
四卯午较幂一也今欲于乙戊全形中减一甲乙股之幂则于卯己?幂内【一句一幂并为?】存午己句幂而减子午辛磬折形即股幂矣何者卯己?幂内当函一句幂一股幂也【一卷四七】又庚未与未寅等即庚壬形亦
股幂也以庚壬形代磬折形即
丁辛丙己两形为和幂与股幂
之减存形也半之即丙己形以等
句?和之乙己除之得乙丙句
又法曰股自之得一千二百九
十六以句?和七十二为法除之得十八为句?较加句?和得九十半之得四十五为?减较得二十七为句
此法与本篇第九题又法同论
第十三题
股?和求股求?
法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股?和八十一求股求?以句自之得七百二十九股?和自之得六千
五百六十一相减得五千八百三十
二半之得二千九百一十六为实以
和为法除之得甲乙股三十六以减
和得甲丙?四十五
论曰乙丁和幂内之戊己句幂也余论同本篇十三
题
又法曰句自之得七百二十九以
股?和八十一为法除之得九为
股?较加股?和得九十半之得四十五为?减较得三十六为股
此法与本篇第十题又法同论
第十四题
股?较句?较求句求股求?
法曰甲乙股甲丙?较二乙丙句甲丙?较九求句求股求?以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为?和较加句?较九得甲乙股十
五加股?较二得乙丙句八以
句?较加句或股?较加股得
十七为甲丙?
论曰股?较甲丁二自之得四
为己庚直角方形句?较乙戊
九自之得八十一为辛壬直角
方形两幂并得八十五以二减
九得七即勾股较自之得四十
九为干兊直角方形元设两较
互乘为癸戊子丑两直角形并
得三十六以三十六减八十五
亦得四十九何以知癸戊子丑
三十六为实开方得六之寅卯
直角方形边则?和较也凡直
角三边形之?幂必与勾股两幂
并等【一卷四七】甲乙丙既直角形则
甲乙乙丙两幂并必与甲丙幂
等今于甲乙股加甲辰?丙乙
句加乙午?甲丙?加丙未句
未申股各作一直线以此三和
线作一三边形【一卷廿二】即甲申上
之甲酉直角方形必不等于丙
午上之丙戌直角方形乙辰上
之乙亥直角方形并而此不相
等之较必勾股较幂之四十九
也何者若于甲酉丙戌乙亥三
直角方形各以元设勾股?分
之即甲酉形内有?幂一股幂
一句幂一股?矩内形二句?
矩内形二勾股矩内形二而乙
亥形内有?幂一股幂一股?
矩内形二丙戌形内有?幂一
句幂一句?矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戌内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戌或乙亥内存?幂一次以此两存形相当相抵则一?幂之大于两勾股矩内形必勾股较幂之四十九也何者一?幂内函一句幂一股幂今试如上图任作一甲乙?幂其乙丙为句幂则丁丙戊磬折形必与股幂等乙己为股幂则丁己戊磬折形必与句幂等次以乙
庚辛壬两勾股矩内形辏乙角依角傍两边纵横交加于?幂之上即得勾股之较幂丙己而乙丙上重一句幂次以所重之句幂补其等句幂之丁己戊磬折形则甲乙?幂之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙己勾股较幂矣故知向者乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较幂之四十九也则乙亥丙戌两形并其大于甲酉形亦勾股较幂之四十九也今于辛壬较幂内减勾股较幂四十九之干兑直
角方形其所存干离震兊两余
方形及离震己庚两直角方形
并必与癸戊子丑两形并等次
以癸戊子丑两形开方为寅卯
形则减寅卯之甲酉形与减辛
壬之丙戌形减己庚之乙亥形
并必等而减寅卯之甲酉形内
元有?幂如甲寅者四有?偕
寅卯形边矩内形如寅巽者四减辛壬之丙戌形内元有句幂如丙辛者四有句偕句?较矩内形如辛坎者四减己庚之乙亥形内元有句幂如己辰者四有股偕股?较矩内形如甲己者四今以四?幂当四句幂四股幂【一卷四七】则甲己辛坎两形并必与寅巽形等甲丙与巽申等?也丙申勾股和也则两?间等寅卯形边之丙巽不得不为?和较矣既得丙巽六为?和较即以元设两较相加可得勾股?各数也何者巽申?也巽艮句?较也艮申句也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申句则丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲?也丙坤股?较也坤甲股也巽甲勾股和也于巽甲勾股和减坤甲股则巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲则?也
第十五题
句?和股?和求句求股求?
法曰甲丙乙丙句?和七
十二甲乙甲丙股?和八
十一求句求股求?以两
和相乘得五千八百三十
二倍之得一万一千六百
六十四为实平方开之得?和和一百○八以股?和减之得乙丙句二十七以句?和减之得甲乙句三十六以勾股和减之得甲丙?四十五
论曰两和相乘为乙己直角形倍之为丁戊直角形以为实平方开之得己庚直角方形与丁戊等即其边为?和和者何也丁戊全形内有?幂二股?矩内形句?矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一?幂己庚形内余一句幂一股幂并二较一亦等【一卷四七】即己庚方形之各边皆?和和